2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

一、填空题
（1）曲线 的水平渐近线方程为         .
（2）设函数 在 处连续，则          .
（3）广义积分          .
（4）微分方程 的通解是         .
（5）设函数 由方程 确定，则 =         .
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
               .

二、选择题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
 （A）      （B）
 （C）      （D）        【    】
（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是
（A）连续的奇函数.     （B）连续的偶函数
（C）在 间断的奇函数   （D）在 间断的偶函数.       【    】
（9）设函数 可微， ，则 等于
 （A） .      （B）
 （C）      （D）                 【    】
（10）函数 满足一个微分方程是
 （A）    （B）
 （C）    （D）
（11）设 为连续函数，则 等于
 （A）    （B）
 （C）    （D）      【    】
（12）设 与 均为可微函数，且 . 已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若 ，则 .
（B）若 ，则 .
（C）若 ，则 .
（D）若 ，则 .        【    】
（13）设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是
 （A）若 线性相关，则 线性相关.
 （B）若 线性相关，则 线性无关.
 （C）若 线性无关，则 线性相关.
（D）若 线性无关，则 线性无关.             【    】
（14）设 为3阶矩阵，将 的第2行加到第1行得 ，再将 的第1列的-1倍加到第2列得 ，记 ，则
（A）      （B）
 （C）       （D）     
三 解答题
15．试确定A，B，C的常数值，使得 ，其中 是当
 。
16． 
17．
 
18．
 
19．  
20 设函数  满足等式
(Ⅰ)验证 .
(Ⅱ)若 .
21  已知曲线 的方程为
（Ⅰ）讨论 的凹凸性；
（Ⅱ）过点（-1，0）引 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；
（Ⅲ）求此切线与 （对应于 的部分）及 轴所围成的平面图形的面积。

22 已知非齐次线性方程组
 
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
Ⅱ求 的值及方程组的通解
23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 是线性方程组A =0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量  (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 .

题解                                 高数
一、填空题
（1）曲线 的水平渐近线方程为
 
（2）设函数  在x=0处连续，则a=
 
（3）广义积分 
 
（4）微分方程 的通解是
（5）设函数  确定，则 
  当x=0时，y=1，
  又把方程每一项对x求导，
  

二、选择题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处的增量，  ，则[A]
 （A）    （B）
 （C）    （D）
 由 严格单调增加
   是凹的
 即知
（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则
  是[B]
 （A）连续的奇函数    （B）连续的偶函数
 （C）在x=0间断的奇函数   （D）在x=0间断的偶函数
（9）设函数  则g(1)等于[C]
 （A）       （B）
 （C）      （D）
∵  ，
（10）函数 满足的一个微分方程是[D]
 （A）    （B）
 （C）    （D）
 ∵ 特征根为1和-2，故特征方程为
（11）设 为连续函数，则 等于[C]
 （A）    （B）
 （C）    （D）
（12）设 均为可微函数，且  在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是[D]
 （A）若
 （B）若
 （C）若
 （D）若

 
今  代入(1) 得 
今   故选[D]

三、解答题
（15）试确定A，B，C的常数值，使 其中 是当 .
 解：泰勒公式 代入已知等式得
 
 整理得
 
 比较两边同次幂函数得
 B+1=A   ①
C+B+ =0  ②
  ③
式②-③得 
代入①得 
代入②得 

 （16）求
 解：原式=
   
   
   
   
 

（17）设区域
 计算二重积分
 解：用极坐标系
 

（18）设数列 满足 ，
 证明：（1） 存在，并求极限
   （2）计算
 证：（1）
    单调减少有下界
   根据准则1， 存在
   在 两边取极限得
   因此
  （2）原式
     离散散不能直接用洛必达法则
   先考虑  
   用洛必达法则
      
      

（19）证明：当 时，
证：令
 只需证明  单调增加（严格）
 
   
 
  单调减少（严格）
又
故 单调增加（严格）
  得证

（20）设函数 内具有二阶导数，且 满足等式
 
（I）验证 
（II）若  求函数
证：（I）
 
 
 
 （II）令
 

（21）已知曲线L的方程
（I）讨论L的凹凸性
（II）过点 引L的切线，求切点 ，并写出切线的方程
（III）求此切线与L（对应 部分）及x轴所围的平面图形的面积
解：（I）
  
  
 （II）切线方程为 ，设 ， ，
  则
  得
  点为（2，3），切线方程为
 （III）设L的方程
则
 
由于（2，3）在L上，由
 
 
 
 

线代
(6) 设A=  2  1  ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|=      .
          -1  2
解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
 |B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

(13)设1,2,…,s 都是n维向量，A是mn矩阵，则（  ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(B) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1.1,2,…,s线性无关 r(1,2,…,s)=s.
2. r(AB) r(B).
矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此
r(A1,A2,…,As) r(1,2,…,s).
由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记   1  1  0
      P=  0  1  0  ,则
          0  0  1
(A) C=P-1AP.  (B) C=PAP-1.
(C) C=PTAP.   (D) C=PAPT.
解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B=PA ,
       1 -1  0
C=B  0  1  0 =BP-1= PAP-1.
       0  0  1

(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
          4x1+3x2+5x3-x4=-1，
 ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
② 求a,b的值和方程组的通解. 
解:① 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.
又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.
两个不等式说明r(A)=2.
② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
        1  1  1  1  -1       1  1   1     1     -1
(A|)=  4  3  5 -1  -1     0 –1   1    –5      3    ,
            a  1  3  b   1       0  0  4-2a 4a+b-5  4-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
     1  0  2 -4   2
   0  1 -1  5  -3  .
     0  0  0  0   0
得同解方程组
     x1=2-2x3+4x4，
     x2=-3+x3-5x4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.

(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
    Q TAQ=.
解:① 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:c0, c0.
属于0的特征向量:c11+c22, c1,c2不都为0.
② 将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,的1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
               3  0  0
   Q TAQ=Q-1AQ=  0  0  0  .
               0  0  0